Průmyslové aplikace matematiky

18 Říj

Motto: Přestože hvězdy jsou tak daleko, tak o jejich pohybu víme mnohem víc než o proudění vody, do které si můžeme sáhnout.
Leonardo da Vinci

S prouděním kapalin, plynů a směsí se setkáváme v moderní technické praxi čím dále tím častěji. Zatímco dříve ke zhotovení vodního díla, např. mlýnu, stačila erudice řemeslníků získaná praxí přenášenou z generace na generaci, dnešní často unikátní rozsáhlá a nákladná díla nemohou být konstruována jen na základě zkušeností odborníků s ohledem na bezpečnost a ekonomiku provozu takových zařízení. Do tohoto procesu je nutné zavést rigorózní postupy, které jsou obvyklé v exaktních vědách. O rigorózní popis pohybu tekutin se fyzikové, matematici a inženýři snaží již několik století.

Z matematického vyjádření zákonů zachování hmoty, momentu hybnosti (množství pohybu) a energie byly odvozeny diferenciální rovnice, kde jako neznámé veličiny figurují rychlost proudění, hustota a teplota tekutiny, tlak, popř. další charakteristické veličiny proudění. Firma Hydrosystem, a. s., se zabývá návrhem a realizací průmyslových čerpacích systémů, lapidárně řečeno systémů čerpajících „všechno, co teče“. Čerpací systémy nacházejí své použití v tepelných, vodních a jaderných elektrárnách, v těžbě ropy a výrobě benzinu, v metalurgii a stavebnictví (např. při ostřikování tlakovou vodou), papírenské a potravinářské výrobě. Často se jedná o extrémní požadavky na zařízení, např. velké tlaky, rychlé změny a přesnost (ostřiky), obrovské přesuny hmoty (chlazení elektráren).

Jemná hra

Taková zařízení není možné stavět na zkoušku jak pro vysoké náklady, tak pro nepružnost takového přístupu. Projekt zařízení musí začít výběrem vhodného matematického popisu, který zahrnuje nejvýraznější jevy v typu proudění, jež bude v systému převládat, a citlivě zanedbá jevy méně podstatné, které – kdyby se všechny braly v úvahu – by učinily problém prakticky nezvladatelným. Jedná se tedy o velice jemnou hru mezi „šedou teorií“ (rovnicemi) a „zeleným stromem života“ (reálným prouděním v systému). Cílem popsaného tzv. matematického modelování je navrhovat a testovat čerpací a jiná související zařízení ve virtuálním (myšleném) světě matematiky. Je samozřejmé, že nemůžeme slepě věřit jen v teoretické úvahy už jenom proto, že některé jevy nebyly vzaty v úvahu. Musí zde být zpětná vazba, která by odhalila problémy vzniklé na základě chybných představ. Za tím účelem se navrhují vhodné experimenty v malém, které zkouší některé prvky, např. čerpadla zapojená do různých hydraulických obvodů. Ty si můžeme představit jako analogii elektrických obvodů s odpory (ventily), dráty (potrubí) apod.

Nejen lineární modely

Čerpání tekutin je povětšině záležitost dynamická, tedy měnící se v čase, a to často velmi náhle. Právě prudké změny, např. tlaku, mohou v systému s potrubími vést k nežádoucím jevům. Tlakové pulzace při rezonanci s vlastní frekvencí potrubí mohou při výkonech, jichž dnešní čerpací zařízení musí dosahovat, vést až k destrukci nejen zařízení samotného, ale i okolního, např. primárního okruhu jaderného reaktoru. Detekce a prevence tlakových pulzací bylo jedno z témat spolupráce firmy Hydrosystem (která vznikla oddělením od dřívějšího Výzkumného ústavu Sigma Olomouc) s Matematickým ústavem Akademie věd České republiky. V širším kontextu se pak jednalo o spolupráci na modelování dynamických vlastností čerpacích systémů. Výzkum začíná modelováním jednotlivých komponent. Např. za model čerpadla považujeme rovnici(-e), která nám umožní dát do vzájemného vztahu tlak před a za čerpadlem a průtok jeho vnitřkem bez toho, že bychom detailně analyzovali všechny složité procesy, jež probíhají v uzavřeném pracovním prostoru čerpadla. Obvyklý praktický postup je přes tzv. lineární model, kdy veličiny jako tlak a průtok vystupují v rovnicích lineárně. Ten je vhodný pro výpočet vlastních frekvencí, vyšetřování stability, výpočet tvarů vlastních kmitů a analýzu vlivu vstupních parametrů.

Při vývoji nových jednoduchých, účinných a přesných zařízení však s lineárním modelem vystačíme málokdy. Při rychlých dynamických změnách se daleko více uplatňují nelineární členy, které v lineárním modelu byly zanedbány. To se také projevilo při analýze tzv. hysterezního chování čerpadla. Měřením bylo zjištěno, že někdy se čerpadlo chová tak, že přecházíme-li z jednoho stavu do druhého a zpět, nevrací se stejnou cestou, nýbrž tzv. tlakový-průtokový diagram vytváří uzavřenou smyčku zvanou hysterezní smyčka. Tento jev je znám z teorie elasticko-plastických materiálů nebo magnetismu. Ukázalo se, že jednoduchý nelineární model vykazuje v určité provozní oblasti čerpadla tři teoretická řešení. Dlouho nebylo jasné, jak zjistit pravidlo pro výběr toho nejvíce se blížícího reálnému stavu věci. Ukázalo se, že není možné v tomto případě úplně ignorovat to, co se děje v činném prostoru čerpadla, a přesnější model vznikne, započteme-li do popisujících rovnic setrvačnost, sice relativně malého, leč nenulového množství tekutiny v činném prostoru čerpadla. Její kvantitu vyjádřenou jistou konstantou je však obtížné zjistit, jen se ví, že je velice malá.

Informace pro konstruktéry

Analytikové z Matematického ústavu navrhli zpřesnit model o člen zahrnující vliv setrvačnosti hmoty v činném prostoru čerpadla. Pokusili se výběrové pravidlo pro jednodušší model nalézt z řešení přesnějšího modelu tím, že spočítali, k čemu se blíží tato řešení, předpokládáme-li, že setrvačnost tekutiny v činném prostoru čerpadla se blíží nule. Ukázalo se, že je to jedno určité řešení z oněch tří, o kterých byla shora řeč. Tímto se zároveň obešla neznalost přesné hodnoty setrvačnosti tekutiny v činném prostoru. Z toho plyne nejméně jedno poučení, totiž, že ryze teoretická analýza může přinést výsledek kvality srovnatelné s numerickými výpočty a navíc poskytuje hlubší vhled do vnitřních zákonitostí fyzikálních procesů v systému. Důležité je pak „převyprávění“ získaných matematických výsledků do fyzikálního jazyka modelu, které potom poskytne inženýrům a konstruktérům zcela konkrétní informace o technických úskalích projektu.

Inovační proces v praxi

Popisem komponent úkol zdaleka nekončí. Je-li zadání sestavit systém s určitými vlastnostmi, musí se skládat z více komponent, z nichž každá má svůj model, ale po propojení se vzájemně ovlivňují. Může se stát, že čerpadlo spojené s jedním potrubím nekmitá, zatímco připojeno na jiné vykazuje nebezpečné vibrace. Proto je třeba každý hydraulický obvod řešit jako celek a zde vznikají podobné problémy jako při modelování jediného prvku. Teprve je-li takto model sestaven a vyřešen, je možné začít pracovat na algoritmu řízení systému, projektu celého systému a jeho hardwaru, experimentálním ověření speciálních komponentů a nakonec kompletní simulaci dynamických vlastností na matematickém modelu. Následuje dodávka a montáž, uvedení do provozu, seřízení, testovací měření a zaškolení obsluhy. Tím ovšem zase ještě vše nekončí, neboť jsou zde pozáruční služby a diagnostika, které se provádějí v podstatě po celou dobu provozu zařízení. Tímto malým příspěvkem jsme chtěli ukázat, jak probíhá v praxi tzv. inovační proces, tj. vyrobení zařízení s novými lepšími užitnými vlastnostmi na přání zákazníka. Chtěli jsme rovněž ukázat na příkladu konstrukce čerpacích systémů, že v dnešní době se již nevystačí jen s ryzím prakticismem, jakkoli účelným, ale je třeba využívat možností exaktních věd. Také bychom byli rádi, kdyby tento článek přispěl ke zmenšení četnosti otázky typu „co vy to tam v té matematice ještě zkoumáte – vždyť je to už všechno vyřešeno“, kterou od laické veřejnosti až příliš často dostáváme.

Leave a Reply